Notación y terminología: Este es un problema de Funciones generatrices General. Se tiene los coeficientes a_i para la función generatriz F(x)=a₀+a_1x+a₂x²+… donde a_i toma ciertos valores valores.

Antecedentes: Este ejercicio es netamente conceptual, pero podríamos aplicarlo a problemas similares, como por ejemplo, el que aparece en el libro del profesor José Rodríguez, El Arte de Contar, Capítulo III, Parte 1. Función Generatriz. Páginas 86 y 87. Ejemplo 1.2. Universidad de Los Andes. Donde los a_i generados representan las posibilidades de combinación de los pares de medias.

PREGUNTA 1

Dé una interpretación de los coeficientes a_i , para la función generatriz

F(x)=a₀+a_1x+a₂x²+…donde

F(x)=(1+x+x²…)(1+x²+x⁴+…)(1+x³+x⁶+…)(1+x⁴+x⁸+…)

(sugerencia: Interprete a_n en término de soluciones de la ecuación x₁+x₂+x₃+x₄=n. ¿Cuáles serían las restricciones para los x_i?)

Este ejercicio es netamente conceptual, Tomemos en cuenta que:

X₁= (1+x+x²…)

X₂=(1+x²+x⁴+…)

X₃= (1+x³+x⁶+…)

X₄= (1+x⁴+x⁸+…)

Y que por lo tanto los patrones conductuales de cada uno son:

_∞

X₁= ∑ xⁱ

ⁱ⁼⁰

_∞

X₂= ∑ x²ⁱ

ⁱ⁼⁰

_∞

X₃= ∑ x³ⁱ

ⁱ⁼⁰

_∞

X₄= ∑ x⁴ⁱ

ⁱ⁼⁰

Las cuales vienen siendo las restricciones para los x_i

Y los a_i (con i=0,1,2,3…) representados en la función generatriz F(x)=a₀+a_1x+a₂x²+… representan la manera de repartir n elementos en las 4 categorias dadas; respetando las restricciones dadas.

Si modelamos el antecedente dentro del ejercicio dado, podríamos decir que tenemos 4 distintos colores, e infinitos pares de medias, donde la representación de los valores de x₃ (por dar un ejemplo) vendría siendo que los pares de medias solo se puedan sacar de 3 en 3, es decir que los pares estuviesen embolsados o amarrados en paquetes de 3 pares.

Moraleja: Siempre debemos tomar en cuenta el mensaje conceptual de este ejercicio, para identificar el significado de los elementos en estudio.

Este ejercicio, es un análisis general para los problemas de funciones generatrices; donde se debe resaltar que el patron conductual de los x_i esta generado por sus restricciones, y que los coeficientes acompañantes en la función generatriz son las posibilidades de combinación de los elementos en sus categorías dadas.